p进数：展开有理数何必是实数？
。实数就如同当空烈日一般，统治着整个数学世界。文艺复兴时期的代数学家为了解方程，引入了复数
。 但即便是复数这样自然的构造，也历经了几百年才被数学界所接受。实数的地位似乎是不可置疑的。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学家们惊讶地发现，包含
更像是月亮：月亮固然是夜空中最为明亮的，也时常盖过群星的光辉，但是星星的存在也提示着我们，这个宇宙中有更加辽远的空间等待探索。
进数的是德国数学家亨泽尔（Kurt Hensel），而在他之前的库默尔（Ernst Kummer）已经隐含地使用过了这种奇妙的数字。如同库默尔一样，亨泽尔的原始工作也很难读懂。他的文章发表于 1897 年，此时“域”的概念才仅仅诞生了 4 年：1893 年，韦伯（Heinrich Martin Weber）第一次定义了域，它是一个带有加法和乘法两种运算的集合
）也纳入进来。如果去掉乘法逆元的条件，上述定义就变成了所谓的交换环，最典型的例子就是整数环
的多项式存在有理根当且仅当它存在整数根），所以我们通常把它们放在一起考虑。但是这两个对象的性质都很“糟糕”。例如，我们想要判断对于某一对非零的
，但是反过来并不一定成立。那实数解的存在性对有理数解有帮助吗？答案是肯定的，为此我们需要定义希尔伯特符号（
。这个定义同样初等，但是稍微麻烦一些，有兴趣的读者可以自行查阅参考文献[1]，我们之后不会涉及这个定义本身。重点在于，这个定义是可以直接计算的，所以很方便判断。数学家们证明了一个惊人的定理：
当且仅当方程在这个域中存在解呢？如果的确如此，那似乎我们就能把有理数解看作是这些所有域中解的“交集”。
上面的定理其实是在讲局部与整体的对应。这听起来似乎匪夷所思，明明域变大了，却从整体变成了局部。要解释这一点，我们要先了解一些几何学。
作为环的性质非常相似，比如这两个环都能做带余除法，因此它们都是欧几里得整环。这里
为系数的多项式环，这个系数域就算换成别的域也会有很多相似之处，但是我们这里需要用到一些分析的方法，所以复数最为方便。顺带着，它们的分式域
上的亚纯函数：它们的分母在个别点不一定不为零，所以这些函数会有趋于无穷的极点，但是这些点都是离散的，很容易处理。对于
而言，局部显然就是指其中的任何一个点。这些亚纯函数在任何点附近能展开成洛朗级数，就如同全纯函数（处处解析）能在任何点展开成泰勒级数一样，只不过洛朗级数允许存在
为什么可以这样写呢？对于一般的实数除法，商的小数点后的数字会越来越长，因为我们默认数字的位数越靠后，其“大小”就越小，所以我们才能写出
进展开。这样的展开与小数的进制表示非常相似，这也也解释了它的名字。但这纯粹是形式上的。我们还需要解释三个问题：
这个定义原本是库默尔（Ernst Eduard Kummer）与戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）为了解决代数数域中素元分解不成立而提出的（这也是为什么叫做理想：一个非常“理想”的子集），代数几何学家们却找到了它的几何意义。我们用
生成的理想）。这是一个极大理想，也就是说，它不是任何理想的真子集。实际上，对于
这样简单的类比其实还不能称为“几何”。这要等到格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）创造性地提出概型理论，研究
的数论才能真正统一在一起。在这套理论中，环的素理想（本文中不需要这个概念）被称为点，而极大理想则是闭点。这套理论需要更加艰深的背景知识，本文就不做介绍了。总之，上面我们用到的洛朗展开和
进展开，都是对应两个环的闭点。如果接受这样的设定，你就会发现“局部”的说法没什么问题。
中的展开，也就是小数展开，它算什么呢？它其实是对应有理函数在无穷远点的洛朗展开。如图所示
复平面上的任何点都可以对应于球面上的某点，只需要连接球的顶端与复平面上的点，线段一定会交于球面上的一点。这样就建立了复平面与球面（除了顶端一点）的一一对应。而如果在复平面上以任何方向接近无穷，转换到球面上，就一定会逼近顶点。这样我们就可以把这个球面当作是
，该怎么办呢？直观来看，定义整数允许了负数的存在。但是负数究竟是什么？比如说
的子集。上面两次扩张，都是允许了某种新的运算，然后通过取等价类的方式来构造的。
所以我们需要对序列加以限制，然后取某种等价类。限制后的序列被称为柯西列，定义如下：对于有理序列
中收敛序列的自然推广。当然两个柯西列有可能收敛于同一个数，所以我们还需要等价关系
这样只要有距离函数，就能定义柯西列，就能定义新的域。这个过程被称为完备化，因为我们称任何柯西列都收敛的域为完备域。总结一下，就是说
的完备化方案了。我们平常计算实数的时候倒并不会总是考虑柯西列，反而是小数展开更常用；同样，实际计算
我们自然而然会问，是不是任意给一个多项式方程，其存在有理解的条件都等同于存在实数解和所有
进数解？答案是否定的，有不少多项式不成立这个结论。这激发起了数学家们的好奇心：究竟哪些多项式有类似的性质呢？我们把这个方向称为局部—整体原则，直到今天，它所催生的新知识还在源源不断滋养着整个数论的研究。
的确，数论是距离现实世界非常遥远的一个学科。近些年来，有部分数论被应用于密码学。而要直接应用于物理，以描述现实世界，并被大多数物理学家所接受，这样的工作目前还不多。
进数与实数从逻辑上讲没有任何高下之分，他们都可以做导数，做积分，大多数你能想到的分析工具，都能平等地用到它们身上。那为什么我们生活在实数世界，而不是
还真有人想到了这种可能性。弦论中，弦扫过的世界面是用一维复流形（也就是黎曼面）描述的，但是如果把黎曼面换成是
进弦论。目前来看，这方面的研究成果还处于玩具阶段。不过，这并不影响我们的好奇心。毕竟，我们仰望夜空，只是因为群星很美丽。
[1] 加藤和也, 黑川信重, 斋藤毅. 数论I——Fermat的梦想和类域论.